Jag har under två läsår, tillsammans med några kolleger på skolan, deltagit i matematiklyftet. Vi har arbetat med ett matematiskt område per termin, och håller just på att avsluta det fjärde. Ett av arbetsområdena, vilket vi valde som vårt andra, handlade om problemlösning. Jag tyckte att jag hade en fungerande bild av vad problemlösning var, men känner att under arbetets gång, har den bilden förändrats och att det är en process som fortfarande pågår.

Nedan följer två utdrag ur skolverkets material för matematiklyftet som ledde till att min bild av att lösa problemlösningsuppgifter började förändras.

Vad är ett problem?

En vanlig definition av ett problem är att det är en uppgift som inte genast inbjuder till att man använder en viss metod av rutinkaraktär. Motsatsen till ett problem brukar ofta beskrivas som ”standarduppgift” eller ”rutinuppgift”. Många tror kanske att en uppgift med text, en benämnd uppgift, automatiskt kan ses som ett problem, men så behöver inte alls vara fallet. I många sådana uppgifter kan elever använda rutinartade metoder som de till och med lärt sig i samma avsnitt. På motsvarande sätt behöver inte en uppgift som endast inne-håller matematiksymboler vara rutinartad, den kan mycket väl vara ett problem. Att lösa uppgiften 5 – x = 13 kan vara ett svårt problem för en klass som inte arbetat med negativa tal, men en enkel rutinuppgift när man väl lärt sig lärt sig hantera detta utvecklade talområde, t.ex. då man ska testa sitt svar genom insättning. En benämnd uppgift som ”Per, Lisa och Kalle ska dela lika på 2 liter glass. Hur mycket får var och en?” kan vara enkel rutin för en klass som arbetat med bråk, men ett svårt problem för en klass som enbart arbetat med heltal. Hur ska man till exempel kunna uttrycka svaret?

Ovanstående definition av vad som är ett problem får som konsekvens att vi som lärare bör välja uppgifter med omsorg, när vi ska ägna oss åt problemlösning. Vi bör ta hänsyn till förkunskaper, klass och enskilda elever. Det som är ett problem för en elev behöver inte vara det för en annan och det som var ett problem för ett år sedan kan nu vara en standarduppgift. En viktig poäng med problemlösning är att den ska utmana elevens nuvarande tänkande och att man kan vägleda eleven in mot nya matematiska områden på ett menings-skapande och sammanhängande sätt.

Fixering vid svar och tid

Problemlösning i undervisningen handlar inte primärt om att producera så många korrekta, ”avsedda” svar som möjligt, det handlar mer om att uppmärksamma och studera frågor kring tankar, idéer och lösningar och om den matematik som behandlas i problemet. Ge-mensamma diskussioner om möjligheter och svårigheter ger oss dessutom en rikare repertoar av användbara principer och tillvägagångssätt.

Ibland uppfattas problemlösning som ett grunnande på ”kluringar” där jag snabbt måste få en briljant idé, annars har jag ”skändligen misslyckats”.

Vi vill i stället betona att problem-lösning ska få ta tid, och att en väsentlig del är att diskutera olika strategier, metoder och lösningsförslag. Även om problemet efter lång tids arbete är olöst så har vi lärt mycket under resans gång som är värt att reflektera över. Briljanta idéer skakar vi sällan fram ur rock-ärmen, ofta ligger det mycket möda och arbete bakom en elegant lösning. Att arbeta med problem innebär också att variera ett problem, att ändra villkor eller frågeställning. Många problem kan berikas istället för att avfärdas som redan lösta, alternativt hopplösa.

Traditionen i matematik och problemlösning har varit starkt inriktad på att få fram svar på kort tid och att lösa problem individuellt utan uppföljande diskussion. Detta påminner mer om sprinterlopp än joggingtur och man lär inte se mycket av det mentala landskap man har omkring sig. Inte heller har det funnits tid att diskutera med andra, snarare har det varit förbjudet eller ansetts utan värde. Av dessa skäl drar sig många för att diskutera ett problem som man inte löst med kollegor och det är därför viktigt att också diskutera de känslomässiga aspekterna.

I början av arbetsområdet, fanns det i materialet, en problemlösningsuppgift som vi lärare tyckte kunde vara intressant att arbeta med i våra elevgrupper.  Då hade våra grupper precis startat vårterminen i tvåan, och vi hade arbetat en del med problemlösning redan. Uppgiften var följande:

”I ett av de höga träden längs Amazonfloden sitter en flock vrålapor samlad. Det är hanar, honor och ungar. De har sammanlagt hundra fötter på trädets grenar. Hur många djur finns i flocken?”

Vi insåg att redan innan barnen kunde angripa det matematiska problemet i uppgiften, fanns det några hinder som behövde förklaras innan de fick ta del av problemet. Vad är och var ligger Amazonfloden? Hur ser vrålapor ut? Vad räknas som fötter på en vrålapa?

Efter att vi tittat på bilder av vrålapor, hittat Amazonfloden på jordgloben och kommit överens om att vrålapor har fyra fötter kunde problemet presenteras för barnen. Vi arbetade enligt EPA-metoden (ensam, par, alla). Det visade sig att uppgiften var svår, barnens tålamod var kort och trots att vi tränat olika problemlösningsstrategier, använde barnen strategier som gjorde det ganska omständigt att lösa uppgiften. Istället för att t ex rita snabba, enkla symboler för apor, valde någon att rita apor med fyra ben, svans, ögon, öron mm. Istället för att ”stötta” barnen i deras arbete fick jag ”lotsa” dem.

Lärarens kommunikation: lotsning och stöttning

Lärarens samtal i kommunikationen kan till exempel beskrivas med begreppen lotsning (piloting) och stöttning (scaffolding). Dessa båda sätt att förstå kommunikationen mellan lärare och elev kan ses som två olika sätt att leda eleven mot en korrekt lösning. Begreppet lotsning är inte en specifikt matematikdidaktisk term utan används i en generell betydelse då det handlar om att beskriva en situation då eleverna inte själva behöver fundera utan läraren lägger orden i munnen på eleven och löser problemet åt eleven. Ett sätt att stötta eleverna är då läraren formulera frågor till eleverna som de besvarar och kommer närmare sin lösning. Om eleverna också uppmuntras att ställa frågor när de ska lösa ett problem får läraren en mer stöttande roll. (Matematiklyftet)

Efter lektionen kände jag att jag hade lotsat barnen för mycket, och att de med sina strategier och jag själv, med lotsning och stöttning, inte nått upp till de förväntningar jag hade innan lektionen. Som nämnts tidigare så arbetade barnen med ”vrålaporna” tidigt på vårterminen, men arbetsområdet med problemlösning fortsatte resten av terminen och tillsammans blev vi bättre på att välja strategier, och min lotsning övergick mer i stöttning.

Trots mina nya kunskaper om problemlösning, har jag inte kunnat släppa vrålaporna riktigt. Jag är nyfiken på att få veta om barnen lyckats göra just den problemlösningsuppgiften till en rutinuppgift? Så därför gjorde vi den en gång till för någon vecka sedan.

Denna gång fick barnen börja med att arbeta i par. Alla paren löste uppgiften ganska snabbt och vi samlades för att redovisa barnens lösningar. Alla utom ett par svarade att det fanns 50 apor i flocken. Det paret svarade att det fanns 25 apor i flocken.  När barnen redovisat sina lösningar frågade jag om någon kände igen uppgiften? Det visade sig att endast ett fåtal av barnen kände igen den och det de kom ihåg var att de sett bilder av vrålapor på smartboarden för länge sedan. Jag frågade för att jag var nyfiken, men också för att jag i alla lösningar, utom en, såg att de utgick ifrån att aporna hade två fötter och att båda fötterna var på trädets grenar. Paret som svarat 24 apor utgick från att aporna hade fyra fötter och att alla fötter var på trädets grenar. Alla lösningarna var ju ”rätt” men jag önskade att det funnits en större variation i lösningarna. Vi diskuterade varför vissa utgick från två fötter och andra fyra fötter. Vi försökte föreställa oss hur det ser ut när apor flyttar omkring i träden och då kom det förslag om att alla fötterna kanske inte var på grenarna samtidigt och att några apor hade noll fötter på grenarna för att de hängde i sina svansar. Efter den diskussionen arbetade barnen individuellt med uppgiften. Det blev större variation i svaren då alla nu kunde förställa sig aporna i träden och att de utgick från att de hade olika antal fötter på grenarna. Jag kände att alla nu automatiserat problemet och det blev en rutinuppgift. För att kontrollera att de verkligen förstått kärnan i problemet blev nästa utmaning att konstruera en liknande uppgift som någon annan skulle lösa. Att låta barnen konstruera liknande uppgifter ger en tydlig bild av om de har förstått kärnan i problemet. Denna uppgift var också individuell. Många klarade att göra en egen liknande uppgift som kunde ha olika lösningar, men några konstruerade liknande uppgifter, som bara hade ett rätt svar. När vi diskuterade uppgiftens text visade det sig att småord i formuleringarna kunde vara avgörande för lösningen eller lösningarna på problemet.

Några exempel på uppgifter :

”Utte i en hage finns det en flok hästar. Dom har sammanlakt 30 fötter på marken. Hur många hästar fins det?

”Vid en baseng fins meniskor såm siter och badar fötterna. Samanlagt har dom 40 fötter i basängen. Hur många meniskor finns vid basängen?”

”Runt en brasa sitter det folk på stockar dem har 10 fötter sammanlagt på marken. Hur många folk är det runt brasan?”

”I en fotbollsarena finns det 3000 platser att sitta på. Hur många familjer får det plats på alla dem platserna?”

Eleverna konstruerar egna uppgifter

Som slutuppgift arbetade barnen i par igen. De skulle tillsammans konstruera en uppgift som ettorna skulle prova att lösa. Ettorna arbetade i grupper om tre och treorna skulle sitta med och observera och stötta ettorna i deras arbete. De skulle också försöka vara observanta på om något inte gick att lösa i deras uppgifter. Treorna lyssnade entusiastiskt på ettornas resonemang. En del tyckte det var svårt att inte lotsa ettorna när de hörde att de var på fel spår, men till slut visade det sig att alla uppgifter som konstruerats av treorna gick att lösa och ettorna lyckades lösa varje uppgift på några olika sätt. Nedan syns några exempel på treornas uppgifter och ettornas lösningar:

Att diskutera

1. Hur arbetar ni för att kontrollera att eleverna förstått själva kärnan i ett matematiskt problem?
2. Hur tänker ni om problemlösningsuppgift/rutinuppgift?
3. På vilket sätt har ni förändrat er matematikundervisning efter att ha deltagit i matematiklyftet?